Les tragédies grecques savaient faire apparaître au bon moment un dieu descendu d'on ne sait où grâce à une improbable machine pour aider les protagonistes à se sortir opportunément d'une situation délicate. Quel mathématicien n'a pas rêvé de cette inspiration extraterrestre, ce deus ex machina inattendu, qui arriverait à point nommé pour lui souffler l'idée de génie qui lui permettrait de raccorder le chaînon manquant à sa démonstration ?
Des exemples célèbres et spectaculaires
Nous n'apprendrons pas au jeune Carl Friedrich Gauss (1777–1855) un moyen « magique » de calculer la somme des cent premiers entiers : c'est celui qu'il a, paraît-il, utilisé pour ce faire dès l'école primaire. Nous lui devons en effet ce deus ex machina historique. Pour calculer 1 + 2 + … + 99 + 100, il suffit d'additionner 1 + 100 = 101, puis 2 + 99 = 101… jusqu'à 100 + 1 = 101, pour obtenir 1 + 2 + … + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050. Le moyen se généralise évidemment au calcul de la somme des n premiers entiers : on additionne les nombres équidistants des extrêmes pour arriver à 1 + 2 + … + (n – 1) + n = n (n + 1) / 2. Il va sans dire, en suivant la même idée, que la somme 1 + 3 + … + (2n – 1) des n premiers entiers impairs est, elle, tout simplement égale à n2 puisque la somme des termes équidistants des extrêmes est ici égale à 2n. Spectaculaire, non ?
Un résultat géométrique cette fois, ...
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