Le corps ? des complexes a été construit pour fournir des solutions à toutes les équations du second degré. La surprise est qu'il contient aussi celles de toutes les équations algébriques à coefficients dans ?. En termes savants, il est algébriquement clos.
Ne vous laissez pas impressionner par le vocabulaire : un corps n'est rien d'autre qu'un ensemble où il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions selon les règles habituelles.
, complet au sens analytique, inachevé au sens algébrique
Attardons-nous d'abord sur l'ensemble 
, celui des nombres rationnels (quotients de deux entiers), car il correspond à un certain achèvement, que n'ont ni 
, ni 
, respectivement ensembles des entiers positifs et relatifs. Les quatre opérations y ont bien leurs propriétés habituelles (associativité, commutativité, distributivité), mais, de plus, leurs résultats restent dans . Autrement dit, elles y sont « internes » à l'exception près que l'on ne peut pas diviser par zéro. En résumé, est un corps et, dans ce sens, il a un côté « achevé ».
Le corps convient pour toutes les applications pratiques où les approximations suffisent. Cependant, il ne contient aucun nombre correspondant à certaines quantités géométriques simples, comme la longueur de la diagonale d'un carré de côté unité. Celle-ci peut seulement être approchée. On peut obtenir une suite d'approximations qui approchent ...
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