Attention, ce texte nécessite d'avoir lu l'article dand lequel signature et poids des pavages sont introduits.
Pour énumérer les frises du plan, nous allons commencer par… un petit détour dans l'espace, sur le cylindre ! Imaginez que vous enrouliez votre ruban, votre frise préférée, sur un cylindre. Depuis la plus haute Antiquité, les poteries et autres amphores ne sont-elles pas décorées sur leur pourtour avec de charmants motifs ? On y observe une symétrie de rotation, d'axe celui du cylindre, qui permet la duplication d'un motif tout autour de l'objet. Pour passer du cylindre au plan, il suffit de faire tendre le rayon de ce cylindre vers l'infini.
Un peu de combinatoire
Une frise de signature 33.
Une frise de signature 3x.
Le théorème du pavage, appliqué aux frises, affirme qu'une frise possède une signature comprenant un symbole infini et dont le poids total fait 2. Attention cependant à ne pas confondre le symbole 3 (de poids 1) correspondant aux rotations avec celui (de poids 1/2 et coloré en rouge) correspondant aux réflexions. En partant de 3, il ne nous reste plus qu'un poids de 1 à trouver. On trouve ainsi naturellement la ...
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