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Du calcul matriciel dans nos images


Élisabeth Busser et Michel Criton

Matrices et vecteurs sont devenus des outils mathématiques et informatiques incontournables pour le traitement numérique des images.


Images matricielles, images vectorielles


 

 

Dans de nombreux formats d'image se cachent des concepts de calcul matriciel : matrices de grande dimension, opérations algébriques sur les matrices, transformations géométriques, expression matricielle ou vectorielle d'une forme algébrique… De même, la représentation des données informatique emprunte au vocabulaire des matrices et des vecteurs : matrices pour figurer un volume, vecteur-ligne ou vecteur-colonne pour représenter une suite de données, matrice pour coder les pixels d'un écran… 

Les formats d'images matricielles les plus répandus ont pour nom JPEG (Joint Photographic Experts Group), qui est le format de photo « classique », GIF (Graphical Interchange), et son remplaçant PNG (Portable Network Graphic). Les formats TIFF (Tagged Image File) ou PSD (Photoshop Document) pour la retouche d'image sont également très répandus.

Les formats d'image vectorielle les plus populaires se nomment PICT (Apple Picture), qui est un peu ancien, PDF (Portable Document Format), pour un affichage efficace des documents, PS (Postscript), intéressant pour l'impression, SWF (Flash), pour des animations sur le Web, ou encore SVG (Scalable Vector Graphic), qui permet animation et transparence.

  

Des approches mathématiques différentes 

En informatique, il existe différents formats d'images. Les images matricielles (en anglais bitmap, ou « carte de points ») sont constituées de points, les pixels (picture elements), affectés d'une couleur. Un tel objet n'est donc rien d'autre qu'un tableau de valeurs ordonné et structuré. La définition d'une photo par exemple est ainsi fonction du nombre de pixels par unité de surface.

Les images vectorielles, quant à elles, sont constituées d'objets géométriques (points, segments, droites, cercles, courbes de Béziers…) repérés par leurs coordonnées. L'intérêt du mode vectoriel est que tous ces objets d'une image peuvent être modifiés de façon indépendante. Ils peuvent aussi être transformés par des translations, des rotations, des agrandissements (ou des réductions), des déformations faites à l'aide de « poignées »…

 

Le traitement d'images

La notation matricielle joue un rôle primordial non seulement dans le stockage des images numériques, mais également dans la modification de ces images.

Pour une image en noir et blanc, la pondération de chaque pixel va de 0 (noir) à 255 (blanc), les valeurs intermédiaires correspondant aux 256 niveaux de gris. Pour une image en couleur selon le code RVB (rouge, vert, bleu), on a 256 intensités de rouge, autant de vert et autant de bleu.

En traitement d'image, l'une des modifications les plus courantes pour améliorer la qualité d'un fichier est la création de filtres de traitement. Les opérations sur les matrices vont prendre place lors de la « convolution ». L'opération consiste à transformer les éléments de la matrice d'image A, généralement de très grand format, par une matrice de convolution F plus petite. Par exemple, si l'on souhaite modifier chaque pixel de A grâce à ses huit voisins, F sera de taille 3 × 3. Ce formalisme permet une grande économie opératoire lors du traitement d'image.

 

 

 


références

Les matrices, Bibliothèque Tangente 44, 2012