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Du vectoriel à l'affine… et vice versa !


Bertrand Hauchecorne

L'algèbre linéaire est née du besoin de trouver un cadre à la géométrie usuelle. Du point de vue de la pratique calculatoire, c'est réussi ! La simplification de certaines opérations et manipulations, devenues plus systématiques, simplifie et rend plus rigoureux le raisonnement géométrique.


Marcel Berger, grand géomètre français disparu en octobre 2016, aimait à dire : « Un espace affine, c'est un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. » En ces termes il exprimait le fait que, dans le premier, tous les points jouent des rôles analogues, tandis que dans le second, le vecteur nul est un élément privilégié. En fait, historiquement… c'est la démarche inverse qui a prévalu !


Décrire notre espace

Jusqu'au début du XIXe siècle, on ne distinguait pas vraiment la réalité physique de sa formulation mathématique. Aussi, certaines propriétés étaient justifiées par l'évidence visuelle. Il n'était alors point besoin de définir une structure mathématique représentant l'espace qui nous environne, elle semblait découler de notre expérience et de notre intuition. L'introduction des coordonnées au XVIIe siècle avec René Descartes puis Pierre de Fermat avait fait comprendre que la donnée d'une origine O et de deux points A et B pour le plan (trois pour l'espace) permettent de repérer tout point M ; en termes modernes, d'exprimer les coordonnées du vecteur  dans la base Lire la suite


références

- Géométrie. Marcel Berger, Cassini, 2016.
- Géométrie. Michèle Audin, EDP Sciences, 2013.