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Les toujours étonnantes curiosités de la série harmonique


Philippe Boulanger

La série harmonique est une des rares séries divergentes qui apparaît souvent en sciences. En mathématiques, naturellement, mais pas seulement : elle s'invite dans une salle de spectacle avec un étourdi qui a oublié sa place ou dans des problèmes d'empilement de morceaux de sucre.


 

L’intérêt pour la série harmonique peut être ravivé par le problème suivant : Un étourdi a perdu son numéro de place réservé dans un théâtre de N places. Il entre en premier et s’assied au hasard, n’importe où. Les autres spectateurs entrent les uns après les autres et s’asseyent à leur place. L’étourdi rend sa place dès que quelqu’un la revendique et s’assied à une nouvelle place libre. Combien de sauts de place en moyenne lui faudra-t-il avant de trouver sa place légitime ? Nous y reviendrons en fin d’article…

 

Une idée ingénieuse


L’une des premières surprises des jeunes mathématiciens est qu’une somme infinie de nombres strictement positifs dont les termes deviennent « de plus en plus petits » puisse diverger, c’est-à-dire devenir plus grande que toute quantité que l’on veut ! L’étonnement dure depuis des siècles. Pourtant, un théologien du XIVe siècle, Nicole Oresme, a démontré que la série harmonique, somme infinie composée de la suite H des inverses des nombres entiers (soit 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …), diverge. La démonstration de la divergence est parue en 1360 dans Questiones super geometriam Euclidis. Dans sa démonstration, Oresme regroupe les termes de façon que chaque groupe de nombres entre parenthèses soit supérieur à 1/2. ... Lire la suite gratuitement


références

Surplomb maximaux. Jean-Paul Delahaye, Pour la science 368, juin 2008.
Série de Kempner, série d’Irwin, à consulter sur le site : http://villemin.gerard.free.fr