Mathématiques des bisous


Fabien Aoustin

Embrassez qui vous voulez...


On peut disposer six cercles de rayon 1 autour d’un cercle de même rayon, et on ne peut guère en mettre plus. On dit que le nombre d’embrassades du plan (ou kissing number) est égal à 6.

Qu’en est-il dans l’espace ? Combien de sphères de rayon 1 peut-on disposer au maximum autour d’une sphère de rayon 1 ? Le résultat est conjecturé depuis bien longtemps : on peut disposer douze sphères autour d’une autre de même rayon. Le démontrer n’est pas évident : il a fallu attendre le milieu du XXe siècle. Car contrairement à la situation plane, il reste beaucoup de place autour de la sphère centrale, suffisamment pour pouvoir échanger deux quelconques des douze sphères par glissement, sans qu’aucune des autres ne se détache de la sphère centrale… mais pas suffisamment pour en caser une treizième !

Quid des dimensions supérieures ? Pour n = 4, 8 et 24, le kissing number est égal à 24, 240 et 196 560 respectivement. Pour les autres valeurs, seuls quelques encadrements sont connus : pour n = 5, la réponse est située entre 40 et 44, et le kissing number en dimension 23 est compris entre 93 150 et 124 416.