La géométrie, monde de formes idéales créé par les mathématiciens grecs, a subi une mutation analytique avec l’introduction des coordonnées au XVIIe siècle, notamment par René Descartes. En 1804, Bernard Bolzano introduit des éléments précurseurs du calcul vectoriel, qui sera établi par Giusto Bellavitis (1803–1880) avec son « calcul de l’équipollence ». La définition moderne des espaces vectoriels donnée par Giuseppe Peano est développée au début du XXe siècle par des mathématiciens comme le Polonais Stefan Banach et le Hongrois Frigyes Riesz. Ils fondent l’analyse fonctionnelle, dans laquelle les fonctions jouent le rôle des vecteurs.
Le produit scalaire
Pour un espace vectoriel E sur le corps K, le produit scalaire, ou produit intérieur, fait correspondre à deux vecteurs et
de E un scalaire, c’est-à-dire un élément de K, noté
Cette composition est symétrique et linéaire par rapport à chacun de ses composants (au sens que
), ce qui justifie le terme « produit », par analogie avec les propriétés du produit réel.
Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même ...
Lire la suite