Approcher le meilleur

S'il est souvent possible de démontrer de façon théorique l'existence d'une solution optimale à un problème donné, une forme explicite et complète de cette solution est plus difficile à obtenir en dehors de quelques cas d'école. Il faut donc se contenter d'en calculer, à l'aide d'algorithmes, une estimation.
Les exemples en sont nombreux, tant dans un contexte « psychologique » (optimisation du bien-être collectif grâce au modèle de Pareto) que physique. Ainsi, quand la quantité à optimiser varie comme un fluide, on peut, avec d'ingénieuses procédures, atteindre le précieux minimum ou maximum, à condition de prendre garde à ne pas rester coincé dans une poche locale : c'est l'optimum global qui est recherché !

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En pratique, trouver une valeur optimale revient souvent à réaliser de lourds calculs d'intégrales. Comment procéder ? Des physiciens ont mis au point la méthode de Monte-Carlo, qui possède l'avantage d'avoir une complexité qui n'augmente pas avec la dimension des intégrales considérées.


La programmation linéaire traite des problèmes de formulation apparemment élémentaire : optimiser des fonctions du premier degré sur un ensemble défini par des inéquations aussi du premier degré. Cette théorie admet en fait de nombreuses applications très concrètes.


Le bien-être d'une population est-il la somme des indices de satisfaction des individus la constituant ? C'est loin d'être sûr, et ce d'autant plus qu'il n'est pas évident de mesurer, de comparer et d'agréger des utilités individuelles. L'Italien Vilfredo Pareto a proposé une approche originale.


Vous êtes sur une piste de ski, dans la brume. Quelle route choisissez-vous pour redescendre tout en bas de la piste ? Une méthode est de suivre la plus grande pente, c'est-à-dire le gradient. Une telle idée donne une méthode numérique, mais aussi une façon de déterminer des optimums.


Le recuit simulé

Daniel Justens
Comment distinguer un minimum local d'un minimum global pendant une procédure de calculs approchés ? Le recuit simulé, fondé sur une pratique courante de l'industrie métallurgique, propose une méthode empirique délicate mais néanmoins efficace pour de nombreuses applications.


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