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♦♦♦♦ À table, et prenez vos serviettes !

Jean-Louis Legrand

Un grand nombre de personnes doivent prendre place autour d’une grande table circulaire. Au début, une serviette est posée sur la table entre chaque paire de couverts voisins.
Quand une personne prend place, soit les deux serviettes à gauche et à droite de son couvert sont encore sur la table et la personne en prend une au hasard (probabilité 1/2), soit une seule de ces deux serviettes est encore sur la table et la personne la prend, soit enfin la personne reste sans serviette.
Un maître d’hôtel se tient à l’entrée de la salle. Il indique à chaque personne quelle place (repérée sur un plan) prendre autour de la table. Par contre, il ne peut jamais voir s’il reste une serviette à gauche ou à droite d’un couvert ni, le cas échéant, quelle serviette prend une personne.
Le maître d’hôtel est malicieux : il veut maximiser la proportion de personnes sans serviette à la fin !
Montrez que la meilleure stratégie conduit à 9 / 64.

S’il n’y avait pas de maître d’hôtel, les personnes se placeraient au hasard.
Montrez qu’alors la proportion de personnes sans serviette à la fin ne baisserait pas beaucoup.

Indices : pour la première question, il convient d’utiliser les probabilités discrètes, avec des puissances de 2. Pour la seconde question, il est conseillé de symétriser gauche et droite de façon indépendante autour du cercle, de passer aux probabilités continues en introduisant le temps et une intégrale à dériver ensuite. Le résultat exact fait appel à la constante d’Euler.

 

 

SOLUTION