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Des carrés faciles à retenir

Michel Criton

Les lecteurs de Tangente ont tous un jour ou l’autre découvert avec étonnement, par exemple à la lecture du numéro 172 de la revue, la suite des carrés des repunités (nombres constitués d’une suite de chiffres 1) :
 

 

 

 

 



Hélas, si l’on veut continuer, le bel ordonnancement des chiffres des résultats est mis à mal pour cause de retenues. Pour mémoriser cette suite de carrés, il suffit de retenir que le chiffre central du carré est égal au nombre n de chiffres 1 du nombre élevé au carré (pour 1 ≤ n ≤ 9). On complète ensuite à gauche de ce chiffre central par la suite des entiers de 1 à n – 1 écrits dans cet ordre. On finit en écrivant à droite du chiffre central la suite des entiers de n – 1 à 1 écrits dans cet ordre, de façon à former un nombre qui se lit de la même manière de gauche à droite ou de droite à gauche (un nombre palindrome, donc).

En revanche, si l’on considère la suite des « rep-9 », ce problème des retenues à partir d’un certain rang, n’existe pas ! En effet :





 

L’identité (10n – 1)2 = 102n – 2 × 10n + 1 suffit à nous convaincre que cette suite se poursuit indéfiniment, le résultat s’écrivant toujours avec n ‑ 1 chiffres 9 suivis d’un chiffre 8, puis de n – 1 chiffres 0 et d’un chiffre 1.

 

D’autres suites présentant des motifs

Intéressons-nous maintenant aux carrés de la suite définie par 4 × 4, 34 × 34, 334 × 334, 3 334 × 3 334… Ces nombres sont de la forme 10n / 3 + 1. En les élevant au carré, on obtient 10n / 9 + 2 × 10n / 3 + 1. Ces carrés s’écriront donc :
« 111111111…11111111 (2n chiffres 1) + 4444…4444 (n chiffres 4) + 1. »
Leur écriture décimale contiendra donc n chiffres 1 suivis de n – 1 chiffres 5 et d’un chiffre 6.

Passons aux carrés de la suite définie par 7 × 7, 67 × 67, 667 × 667, 6 667 × 6 667… Ces nombres sont de la forme 2 × 10n / 3 + 1. En les élevant au carré, on obtient 4 × 10n / 9 + 4 × 10n / 3 + 1. Ces entiers s’écriront donc :
« 4444444444…4444444444 (2n chiffres 4) + 4444…4444 (n chiffres 4) + 1. »
Leur écriture décimale contiendra donc n chiffres 4 suivis de n – 1 chiffres 8 et d’un chiffre 9.

Bien d’autres produits produisent des suites intéressantes. En voici quelques-uns :
 4 × 8, 34 × 98, 334 × 998, 3 334 × 9 998… (pour passer d’un terme au suivant, on ajoute à chaque fois un 3 dans le premier facteur et un 9 dans le second) ;
 37 × 37, 337 × 367, 3 337 × 3 667, 33 337 × 36 667… (on ajoute à chaque fois un 3 dans le premier facteur et un 6 dans le second) ;
 8 × 9, 98 × 79, 998 × 779, 9 998 × 7 779… (on ajoute à chaque fois un 9 dans le premier facteur et un 7 dans le second) ;
 9 × 9, 99 × 89, 999 × 889, 9 999 × 8 889… (on ajoute à chaque fois un 9 dans le premier facteur et un 8 dans le second) ;
 7 × 7, 37 × 67, 337 × 667, 3 337 × 6 667… (on ajoute à chaque fois un 3 dans le premier facteur et un 6 dans le second) ;
 4 × 7, 34 × 37, 334 × 337, 3 334 × 3 337… (on ajoute à chaque fois un 3 dans le premier facteur et un 3 dans le second) ;
 4 × 7, 34 × 67, 334 × 667, 3 334 × 6 667… (on ajoute à chaque fois un 3 dans le premier facteur et un 6 dans le second).

Nous vous laissons explorer l’écriture des carrés définis à partir de chacune de ces suites. À vous de jouer, et d’en trouver d’autres !

 

SOLUTION