On ne parlait pas de dualité en mathématiques avant le début du XIXe siècle. On s’y réfère alors avec le développement de la géométrie projective, promue par Gaspard Monge, Lazare Carnot, Victor Poncelet et Joseph Diez Gergonne (voir notre dossier dans Tangente 162, 2014). Ce dernier s’est émerveillé que « dans cette partie de la géométrie, qui ne dépend aucunement des relations métriques entre les figures, […] à chaque théorème, il en répond nécessairement un autre qui s’en déduit en échangeant simplement entre eux les deux mots “point” et “droite” ». Dans l’espace, explique-t-il, les mots « point » et « plan » jouent le même rôle ; il parle alors de « cette sorte de dualité des théorèmes qui constituent la géométrie de situation ». Le mot était lâché !
à gauche : Gaspard Monge (1746–1818), comte de Peluse, en habit de président du Sénat.
à droite : Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753–1823), L’Organisateur de la Victoire.
Le sens de « dualité » s’est élargi plus tard pour désigner, de manière générale, toute situation où deux éléments, deux espaces, deux figures jouent des rôles symétriques l’un par rapport à l’autre. Un bel exemple de théorèmes duaux nous est donné avec ceux de Pascal et de Brianchon. Quant à celui de Desargues, il est autodual, c’est-à-dire que l’on retrouve le même théorème après inversion des mots « point » et « droite » (voir article « Deux théorèmes pour le prix d'un »).
