Tout est parti du problème 19408 (le problème 8 de Tangente 194, page 49, 2020), issu du Championnat international de jeux mathématiques de l’année… 2012 ! En voici l’énoncé.
Les suites à récurrence linéaire
La solution donnée en page 51 était quelque peu absconse, et cet article est une bonne occasion de l’éclairer. Nous allons nous intéresser essentiellement à la suite M(n), qui obéit à une relation de récurrence linéaire. « Linéaire », car la valeur d’un élément est une combinaison linéaire de quelques-uns des précédents.
La relation de récurrence linéaire la plus simple, d’ordre 1, est de la forme
U(n) = k U(n – 1).
Il n’est pas sorcier de conclure qu’on a affaire à une suite géométrique de raison k.
Le résultat : U(n) = U(0) k n.
Compliquons avec une relation de récurrence d’ordre 2, dépendant, toujours linéairement, des deux valeurs précédentes : U(n) = a U(n – 1) + b U(n – 2).
Pour la résoudre, on commence par montrer que les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2. Deux constantes, les valeurs U(0) et U(1), définissent entièrement une solution.
Pour trouver une base de cet espace, on s’appuie sur la récurrence linéaire d’ordre 1. Y aurait-il des suites géométriques solutions ? Si c’était le cas, en appelant x ...
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