Au cours de l’un de ces entretiens, ce dernier se serait permis d’apostropher ainsi son interlocuteur : « Général, une leçon de géométrie est bien la dernière chose que nous ayons à vous demander… » Cela n’empêcha d’ailleurs pas Laplace de devenir pour quelque temps ministre de l’Intérieur.
Un triangle équilatéral
Le résultat qui serait dû à Napoléon s’énonce ainsi :
Si, sur les côtés d’un triangle quelconque et extérieurement à celui-ci, on construit trois triangles équilatéraux, alors les centres de leurs cercles circonscrits forment un triangle équilatéral.
Cet énoncé rappelle le théorème de Morley, selon lequel les trois trisectrices d’un triangle quelconque définissent un triangle équilatéral. Dans les deux cas, en effet, une symétrie inattendue surgit au milieu d’un triangle absolument quelconque.
Le triangle formé par les centres est désormais appelé triangle extérieur de Napoléon. Il existe également un triangle intérieur de Napoléon, dont les sommets sont les centres des cercles circonscrits aux triangles équilatéraux construits intérieurement sur les côtés du triangle initial.
Une démonstration « sans trigo ni complexes »
Il existe du théorème de Napoléon plusieurs démonstrations, l’une à grand renfort de formules trigonométriques, une autre utilisant les nombres complexes. Présentons ici une démonstration purement géométrique.
La preuve fait appel ...
Lire la suite