Quelques exemples de groupes

Le groupe symétrique

Une permutation (on parle aussi de substitution) d’un ensemble E à n éléments est une bijection de cet ensemble dans lui-même. Ceci correspond en fait à ranger les éléments dans un ordre différent. Pour étudier les permutations, on prend en général l’ensemble des entiers {1, 2, 3… n}. On peut toujours s’y ramener en numérotant les éléments de l’ensemble E étudié.

L’ensemble de toutes les permutations de {1, 2, 3… n} est un groupe pour la composition des applications, appelé groupe symétrique d’ordre n ; on le note σ_n ou S_n.

Ce groupe est fini :

il contient n! = n × (n − 1) × (n − 2) ×… × 2 × 1 éléments. En effet, on a n choix possibles pour donner une image à 1, il en reste n − 1 pour associer une image à 2, et ainsi de suite ; quant à n, il ne reste qu’une image possible. Ce nombre, appelé factorielle n, croit très rapidement avec n ; ainsi σ₃ possède six éléments, σ₄ en possède 24 et σ₁₀ en a 3 628 800.

Comme sous-groupe important de σ_n, on trouve le groupe des permutations paires A_n, qui joue un rôle dans la résolution des équations algébriques (voir « L'apport génial ... Lire la suite gratuitement