Dans le plan, une boule est l’ensemble des points dont la distance (au sens de la distance euclidienne usuelle) à un centre donné est inférieure ou égale à une constante. Cette boule « habituelle » n’est en fait pas vraiment une « boule » au sens où l’entend un amateur de jeu provençal, un joueur de pétanque ou un champion de raffa-volo, mais un disque. En outre, les boules pour des distances quelconques peuvent avoir des formes bien plus saugrenues (l’article « Des distances parfois étonnantes » en atteste grandement). Mais restons dans le plan usuel et intéressons-nous ici à des distances issues d’une « norme » (voir encadré), la distance d’un point A à un point B du plan étant définie comme la norme du vecteur
Qu’est-ce qu’une norme ?
Une norme N sur un espace vectoriel E est une application à valeurs dans ℝ+ vérifiant les trois propriétés suivantes pour tous vecteurs v et w de E et tout nombre réel λ :
N(v) = 0 si, et seulement si, v = 0,
N(λv) = |λ| N(v),
N(v + w) ≤ N(v) + N(w) (inégalité triangulaire).
Une norme induit une distance d sur tout espace affine associé à E, définie par Lire la suite