Les entiers les plus petits qui s’écrivent comme somme de deux cubes de trois manières différentes, puis de quatre manières différentes, et ainsi de suite sont souvent appelés nombres taxicabs.

1729 : un nombre remarquable ?

 

Le nombre N = 1 729 est le plus petit entier naturel pouvant s’écrire de deux manières différentes comme somme de deux cubes (d’entiers naturels). En effet :

1 729 = 123 + 13 = 103 + 93.

Mais est-ce suffisant pour être remarquable ? Au-delà de cette propriété, sa notoriété est peut-être due à l’anecdote (voir ci-contre) mettant en cause Godfrey Hardy et Srinivasa Ramanujan.
Ainsi, 1 729 est quelquefois appelé nombre de Hardy‒Ramanujan.

De la même manière, on peut étudier les entiers les plus petits qui s’écrivent comme somme de deux cubes de trois manières différentes, puis de quatre manières différentes, et ainsi de suite. Ils sont souvent appelés nombres taxicabs.

Le plus petit entier s’écrivant comme somme de deux cubes non nuls de trois manières différentes, que l’on appelle donc taxicab(3), est 87 539 319. En effet :

87 539 319 = 1673 + 4363 = 2283 + 4233 = 2553 + 4143.

Les valeurs taxicab (n) sont connues pour n ≤ 6. Au-delà, on ne connaît que des bornes supérieures, la plupart calculées par un collaborateur de Tangente, Christian Boyer.

 

 

Hardy et Ramanujan

 

Suite à une correspondance, Godfrey Hardy avait invité le jeune et prodigieux mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1887‒1920) à venir le rejoindre à l’université de Cambridge, en Angleterre. On trouve dans les mémoires de Hardy (L’Apologie d’un mathématicien, 1940, publié en 1985 chez Belin, puis en 2018 par ... Lire la suite gratuitement