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L'échangisme en géométrie


Bertrand Hauchecorne

La dualité est présente dans de nombreuses branches des mathématiques, et ce depuis l'Antiquité avec les solides platoniciens. Elle se déploie en géométrie projective au début du XIXe siècle, puis apparaît peu après en logique avec George Boole et August De Morgan, avant de s'épanouir en algèbre linéaire.


On ne parlait pas de dualité en mathématiques avant le début du XIXe siècle. On s’y réfère alors avec le développement de la géométrie projective, promue par Gaspard Monge, Lazare Carnot, Victor Poncelet et Joseph Diez Gergonne (voir notre dossier dans Tangente 162, 2014). Ce dernier s’est émerveillé que « dans cette partie de la géométrie, qui ne dépend aucunement des relations métriques entre les figures, […] à chaque théorème, il en répond nécessairement un autre qui s’en déduit en échangeant simplement entre eux les deux mots “point” et “droite” ». Dans l’espace, explique-t-il, les mots « point » et « plan » jouent le même rôle ; il parle alors de « cette sorte de dualité des théorèmes qui constituent la géométrie de situation ». Le mot était lâché !

à gauche :
Gaspard Monge (1746–1818), 
comte de Peluse, en habit de président du Sénat.

à droite :
Lazare Nicolas Marguerite Carnot 
(1753–1823), L’Organisateur de la Victoire.

Le sens de « dualité » s’est élargi plus tard pour désigner, de manière ... Lire la suite