Abonnez-vous

Dualité, des théorèmes qui vont par deux

Au début du XIXe siècle, le mathématicien Joseph Gergonne pensa découvrir un nouveau monde lorsqu'il comprit qu'un théorème naissait d'un autre en intervertissant dans un énoncé les termes « point » et « droite ». Dans un sens plus large, cette analogie avait déjà été mise en valeur, en particulier dans le cadre des solides platoniciens.
Baptisée ensuite dualité, elle permet, en « renversant » deux concepts « duaux », de parvenir à des démonstrations saisissantes de rapidité.
La dualité fut le berceau de la géométrie projective. Elle se retrouve de nos jours dans de nombreux domaines : théorie des ensembles, logique, algèbre linéaire… L'analyse s'en est aussi emparée dans le cadre des espaces fonctionnels.

LES ARTICLES

L'échangisme en géométrie

Bertrand Hauchecorne
La dualité est présente dans de nombreuses branches des mathématiques, et ce depuis l'Antiquité avec les solides platoniciens. Elle se déploie en géométrie projective au début du XIXe siècle, puis apparaît peu après en logique avec George Boole et August De Morgan, avant de s'épanouir en algèbre linéaire.


En échangeant les faces et les sommets d'un polyèdre, on en obtient un nouveau, que l'on peut obtenir par des constructions géométriques élémentaires. Ce phénomène prouve, une nouvelle fois, le lien étroit entre l'arithmétique et la géométrie.


L'idée d'associer, de manière réglementée, deux objets mathématiques, permet d'élargir certains résultats sans tout réinventer : c'est tout l'intérêt de la notion de dualité. Ou comment faire, mathématiquement, d'une pierre deux coups.


En bref : Polémique mathématique

Bertrand Hauchecorne

Le mot « dualité » provient du bas latin dualités, qui avait évincé le terme classique duales, qui qualifiait ce qui est associé à deux (duo dans la langue de Cicéron).



Les dernières publications POLE