Abonnez-vous

Propriétés curieuses des nombres palindromes


Gianni Sarcone



Les nombres entiers sont une source inépuisable de découvertes et d'émerveillement. Parmi eux, les nombres palindromes restent particulièrement fascinants et mystérieux.

 

Un nombre palindrome est un entier symétrique, dans le sens où il peut se lire de droite à gauche comme de gauche à droite, en restant égal à lui-même. Les chiffres de 0 à 9 sont tous palindromes, de même que les nombres écrits en utilisant un seul chiffre, comme 666. Excepté 11, tous les nombres premiers palindromes (en base 10) ont un nombre impair de chiffres.

Il existe de nombreux carrés qui ont un palindrome pour résultat. Les plus grands carrés palindromes connus jusqu'à présent, découverts par le mathématicien américain Feng Yuan, sont composés de quarante-sept et quarante-neuf chiffres :

 

136 569 391 518 194 940 977 041

= 18 651 198 699 650 016 285 556 865 558 261 005 699 689 115 681,

 

2 107 561 207 005 423 534 632 4622 

= 4 441 814 241 274 157 711 392 425 242 931 177 514 721 424 181 444,

 

2 198 834 453 254 769 178 871 8722 

= 4 834 872 952 820 199 705 196 890 986 915 079 910 282 592 784 384.

 

Voici une manière très simple, quoiqu'un peu laborieuse, pour créer des carrés palindromes :

 

1 × 1 = 1,

11 × 11 = 121,

111 × 111 = 12 321,

1 111 × 1 111 = 1 234 321,

11 111 × 11 111 = 123 454 321,

111 111 × 111 111 = 12 345 654 321,

1 111 111 × 1 111 111 = 1 234 567 654 321,

11 111 111 × 11 111 111 = 123 456 787 654 321,

111 111 111 × 111 111 111 = 12 345 678 987 654 321.

 

Un nombre tétradique premier (du grec tétras, « quatre façons ») est un nombre premier palindrome ayant, en plus d'une symétrie horizontale, une symétrie verticale et une symétrie centrale (l'écriture reste inchangée si l'on retourne le nombre de 180°). Les chiffres qui composent ce genre de nombres se limitent nécessairement à 0, 8 et 1 (seul chiffre impair). Les premiers nombres tétradiques premiers sont donc 11, 101, 181, 18 181, 1 008 001, 1 180 811.

Le plus grand nombre tétradique premier recensé à ce jour s'écrit en répétant le motif 1 808 010 808 mille cinq cent soixante fois, et en concaténant le chiffre 1 à la fin. Ce « petit » bijou a été découvert par les mathématiciens David Dubner et Harvey Broadhurst.

 

Pour conclure en beauté, le mathématicien canadien Paulo Ribenboim définit un nombre premier triplement palindrome comme un nombre premier palindrome possédant p chiffres, où p est lui-même un nombre premier palindrome à q chiffres et q est à son tour un nombre premier palindrome. Par exemple, l'entier 
N = 1011 310 + 4 661 664 × 105 652 + 1
est un nombre premier palindrome qui possède p = 11 311 chiffres, p étant lui-même un nombre premier palindrome contenant cinq chiffres, 5 étant un palindrome également. Ainsi, N est triplement palindrome !

 

SOURCES

Zoo of numbers (Archimedes' Laboratory), en ligne.