Un enfant un peu curieux pourrait se demander pourquoi ses parents lui font prendre un « quatre-heures » vers seize heures. Et pourquoi, lorsqu'il est dix heures, quatre heures après, il est vingt-deux heures. Voilà bien de curieuses additions… L'idée qui se cache derrière tout cela est que, lorsque midi sonne, on peut recompter les heures en partant de zéro. Ainsi, on peut assimiler « 5 heures » et « 17 heures » : la différence entre ces deux horaires est de douze heures. Dit autrement, 5 et 17 ont le même reste dans la division euclidienne par 12.
Pourquoi se limiter aux horloges dont le cadran est partagé en douze secteurs ? Que se passerait-il avec des cadrans de dix heures ? Et de trente-sept heures ? Le mathématicien, malicieux et imaginatif, ne peut s'empêcher de généraliser cette idée. C'est ainsi que se construisent les congruences.
Une nouvelle arithmétique -------------------------
On a besoin de deux entiers a et b et d'un entier naturel n (au moins égal à 2). On dira que a et b sont congrus modulo n s'ils ont le même reste dans la division euclidienne par n. De façon équivalente, leur différence a – b est un multiple de n. On note cela a ≡\equiv b (mod n). Par exemple : 9 ≡\equiv 24 (mod 5).