Entre algèbre et analyse : un univers incontournable

Les polynômes ont deux réalités, qui correspondent à deux étymologies du suffixe nôme. Selon certains linguistes, dont Albert Dauzat, les nômes des polynômes comme des monômes viennent du grec onoma, qui signifie « nom ». Cette interprétation colle à la réalité algébrique, où le X des polynômes se note généralement en majuscule et se nomme l'indéterminée ou l'inconnue. L'usage de cette lettre X remonte à René Descartes. Mais l'idée de donner un nom à l'inconnue d'un problème est plus ancienne encore, puisqu'elle viendrait de Diophante (III^e siècle), qui l'appelait *arithmos*, « le nombre ». Plus tard, al-Khawarizmi (IX^e siècle) la nomme *shay, « la chose » en arabe. Cette pratique parvient en France grâce aux Espagnols, qui transcrivent ce mot en xay. Descartes simplifie en ne gardant que l'initiale, d'où « X ». Son usage s'étend ensuite, en particulier au monde judiciaire. En mathématiques, la lettre « X » porte le nom d'inconnue quand il s'agit de résoudre une équation, d'indéterminée s'il est question de polynômes, et de variable* dans le cadre des fonctions. Un triple statut qui est parfois source de confusions !

Une autre interprétation de ces nômes vient du grec nomos, qui signifie « loi ». On peut penser alors à la fonction mathématique, donc à la « loi » de calcul. Cette interprétation colle à la réalité analytique où *x* devient minuscule italique et se nomme la variable.

Ces deux étymologies éclairent la différence subtile entre polynôme et fonction polynomiale. D'un côté, les polynômes sont des êtres formels, de l'autre, des lois de calcul. Ainsi, 2–3X²+4X⁴ est un objet sur lequel on peut réaliser des d'opérations (addition, multiplication, division…), mais également une fonction : celle qui, à chaque valeur substituable à X (comme 5), associe le nombre 2–3X²+4X⁴ (ici, 2-3×5²+4×5⁴=2427).