Certaines multiplications sont particulièrement faciles à réaliser mentalement. Compte tenu du fait que 11 = 10 + 1, multiplier n’importe quel entier N par 11 se fait très vite. Par exemple, on peut inscrire à droite de N un 0, puis ajouter l’entier N à ce nombre ainsi constitué. Mais dans la plupart des situations, une autre technique se révèle plus efficace. Si l’entier N ne possède que deux chiffres, on les additionne et on insère le résultat au milieu. Ainsi, 72 × 11 = 792. Il ne faut pas oublier la retenue, que l’on reporte sur le chiffre des centaines. Par exemple, 79 × 11 = 869. Cette technique se généralise immédiatement pour les entiers de plus de deux chiffres : on additionne les chiffres par tranches de deux à partir de la droite et on insère les résultats successifs au fur et à mesure, en n’oubliant pas les retenues. Prenons l’exemple de 86 509 × 11. Le chiffre des unités sera 9. Le chiffre des dizaines est égal à 0 + 9 = 9 ; on intercale donc 9 pour obtenir 99. Le chiffre des centaines vaut 5 + 0 = 5 ; on intercale 5, ce qui donne 599. Le chiffre des milliers est 6 + 5 = 11, on insère donc 1 et on retient 1, ce qui conduit à 1 599. Le chiffre des dizaines de mille est égal à 8 + 6 + 1 = 15, on inscrit donc 5 et l’on retient 1, soit 51 599. Le chiffre des centaines de mille enfin vaut 8 + 1 = 9. On lit le résultat : 951 599. Facile !
Des méthodes itératives -----------------------
La petite gymnastique occasionnée par la multiplication « de tête » d’un entier N par 11 permet, en décomposant le processus, d’obtenir une recette pour tester la divisibilité de N par 11. Vous avez peut-être appris cette technique à l’école. On l’appelle le critère domino de divisibilité par 11 :
Un entier est divisible par 11 si, et seulement si, la différence (positive) entre son nombre de dizaines et le chiffre de ses unités est un multiple de 11.
Ainsi, 781 est divisible par 11 car 78 – 1 = 77, qui est visiblement un multiple de 11. Par contre, 459 n’est pas divisible par 11 car 45 – 9 = 36, qui n’est pas un multiple de 11.