Archimède est peut-être le plus grand génie des mathématiques grecques (voir Tangente 150, 2013). Ayant vécu au IIIe siècle avant notre ère, il passa le plus clair de ses jours dans sa Syracuse natale, faisant peut-être quelques voyages à Alexandrie et correspondant avec les mathématiciens de son temps pour informer la communauté scientifique de ses découvertes. On a retenu de lui le cri « Eurêka ! » ou encore la phrase « Donnez-moi un point d’appui et je soulèverai le Monde » ; ces citations sont pourtant absentes de son œuvre et ont été rapportées par des auteurs très postérieurs à lui (Plutarque et Pappus en l’occurrence). Beaucoup de travaux originaux sont en revanche conservés, dans lesquels Archimède déploie tout son génie : approximation et encadrement de π, calculs de commensurabilité sur un puzzle (le Stomachion), variations sur l’arbêlos, quadrature de la parabole, rapport des volumes d’une sphère et d’un cylindre. C’est de ce dernier résultat qu’il était le plus fier, au point de demander à faire figurer une sphère et un cylindre sur son tombeau, ce qui permit à Cicéron de le reconnaître alors qu’il avait été oublié des Syracusains. L’un des résultats qui démontrent peut-être le mieux le génie propre à Archimède est la quadrature de la spirale, c’est-à-dire la détermination de la surface engendrée par une spirale dans sa première rotation.
Une spirale, mais laquelle ? ----------------------------
La spirale est une courbe mathématique inventée par Archimède : nombre de gens avaient tracé des spirales sur le sable ou sur les parois des grottes préhistoriques, mais personne n’en avait donné une définition mathématique. Archimède en propose dans Des spirales une construction cinématique : « Lorsqu’une droite tourne uniformément dans un plan pendant que l’une de ses extrémités reste fixe et qu’elle revient à sa position initiale, et si sur cette droite en rotation un point se déplace uniformément à partir du point fixe, le point décrira dans le plan une spirale. » Cette définition « pratique » permet d’appréhender toute l’intuition physique des mathématiciens grecs, qui commencèrent à proposer des courbes non circulaires tracées grâce à des mécanismes ingénieux comme la quadratrice ou la conchoïde (voir le dossier « Construction mécanique des courbes » dans Tangente 151, 2013).
Cette définition n’est pas qu’une manière commode de parler d’une courbe : elle a pour conséquence directe un résultat très intéressant concernant les « rayons » que l’on peut tracer. En effet, la proposition 12 du livre Des spirales énonce : « Si, à une spirale décrite en menant une seule révolution quelconque, sont menées, de l’origine de la spirale, des droites [segments] en nombre quelconque faisant entre elles des angles égaux, ces droites se dépassent l’une l’autre d’une même grandeur. » En clair : les rayons tracés à angle constant sont en progression arithmétique, et cela est dû à la définition même de la spirale, où il est fait mention d’un mouvement uniforme (voir encadré).