L’interversion des dérivations partielles
La notion de dérivation partielle d’une fonction de plusieurs variables est apparue dans la foulée de celle de dérivation, à la fin du XVIIe siècle. On entend sous ce nom la dérivée par rapport à une variable en fixant toutes les autres. Ceci a permis de résoudre de nombreux problèmes de physique. Mais de quoi s’agit-il ?
Prenons une fonction f de deux variables (x, y) f (x, y) ; en fixant y, on peut considérer la fonction f y : x
f (x, y).
N’étant plus que d’une seule variable, on peut se poser la question de sa dérivation en un point x.
Si celle-ci est possible, on la note On peut de même définir, si tout se passe bien,
Cette procédure définissant des fonctions d’une variable, on peut dériver la première par rapport à y et la seconde par rapport à x et on note respectivement, si ces dérivations sont possibles, et
Avec un exemple, ce sera plus clair ! Considérons f (x, y) = x 2 y 3.
Alors ...
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