Le produit matriciel : un problème ouvert ?
En fait, de très nombreux domaines scientifiques nécessitent de faire des multiplications de matrices de très grandes tailles (voir Les Matrices, Bibliothèque Tangente 44, 2012). L’algorithme de base, pour le produit d’une matrice A de m lignes et n colonnes par une matrice B de n lignes et p colonnes (voir ci-contre), nécessite m × n × p multiplications et n × p additions. Or, en machine, les multiplications sont nettement « plus coûteuses » que les additions. D’où les recherches menées par des mathématiciens pour réduire le nombre de multiplications, quitte à augmenter le nombre d’additions. C’est en cela que le produit matriciel est un problème ouvert. Par exemple, en 1967, le mathématicien allemand Volker Strassen (né en 1936) développe un algorithme qui permet de multiplier deux matrices carrées en un temps machine meilleur que le calcul de base (voir Les Algorithmes, Bibliothèque Tangente 37, 2013, et Tangente 189, 2019). C’est à ce problème, purement de calcul, que s’est attaquée l’équipe de DeepMind, la filiale « intelligence artificielle » (IA) de Google.
Le produit matriciel sur un exemple
Le produit de deux matrices obéit à une règle qui semble quelque peu déroutante au premier abord (il ne ...
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