Quand les valeurs d’une fonction f sont trop difficiles à calculer, que ce soit « à la main » ou avec un outil (calculatrice ou ordinateur), on cherche à remplacer f par une fonction plus simple, un polynôme par exemple. Mais, bien sûr, cela doit se faire avec une fonction « proche » de f. Il faut donc définir en quel sens, c’est-à-dire avec quelle distance.
Le plus naturel
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Considérons deux fonctions f et g définies et, pour simplifier, supposées continues sur un intervalle [a, b]. La distance sans doute la plus connue entre f et g est celle issue de la norme uniforme, c’est-à-dire que d( f , g) est le plus grand écart entre f (x) et g (x) quand x appartient à [a , b]. En termes mathématiques, cela s’écrit :
Il faut montrer, bien sûr, que cette définition vérifie les propriétés d’une distance (voir Les distances. Bibliothèque Tangente n°81, POLE, 2023). Pas de problème, cela est bien le cas ! Pour approcher f par une fonction g plus simple, on va donc chercher à rendre la valeur d ( f , g) la plus petite possible. C’est manifestement la distance adéquate si on veut trouver une fonction g proche de f en tout point de l’intervalle [a , b*].
