Dans un article de la revue The American Mathematical Monthly, disponible en ligne, Norman J. Wildberger et Dean Rubine développent une nouvelle stratégie qui permet de dépasser les soucis engendrés par l’approche par radicaux. L’idée de base est d’utiliser les nombres de Catalan Cn qui donnent le nombre de façons de découper un polygone convexe à n + 2 côtés en n triangles.
Il se trouve que la série
vérifie la relation c(x) = 1 + xc(x)2, de degré 2. Pour généraliser, on peut calculer les « hyper-nombres de Catalan » : par exemple C[2,0,1] donne le nombre de découpages d’un hexagone en 2 triangles, 0 quadrilatère et 1 pentagone et vous pourrez vérifier qu’il vaut 28. En construisant une algèbre sur les découpages de polygones, puis en en tirant des séries, les auteurs parviennent à proposer des formules pour résoudre les équations polynomiales. Ils traitent quelques exemples historiques dont certaines équations qui ne sont pas résolubles par radicaux. Leur méthode combinatoire ouvre même de nouvelles perspectives de recherche, notamment via l’étude d’un tableau de nombres encore mystérieux qu’ils ont surnommé « la géode ». Bref, oubliez les radicaux, et plongez-vous dans les séries !
