Ce tableau de 1895 représente une classe en Russie à la fin du xixe siècle, telle que son auteur, Nikolaï Bogdanov-Belski, l’a connue. Il y met en scène son propre instituteur, Sergueï Alexandrovitch Ratchinski, proposant à ses élèves un exercice de calcul mental : calculer la fraction
Un bon truc pour résoudre ce problème consiste à réécrire le numérateur N sous la forme plus symétrique
N = (12 – 2)2 + (12 – 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2,
puis
N = [(12 – 2)2 + (12 + 2)2] + [(12 – 1)2 + (12 + 1)2] + 122.
Avec l’identité remarquable (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2),
il vient alors que N = 2(122 + 22) + 2(122 + 12) + 122 = 5 × 122 + 2(12 + 22) = 730,
et donc R = 2.
Calcul mental. Dans l’école populaire de S. A. Ratchinski,
par Nikolaï Bogdanov-Belski, 1895 (galerie Tretiakov, Moscou).
Sergueï Alexandrovitch Ratchinski (1833-1902)
Dans une première vie, l’instituteur de cette école rurale était botaniste, mathématicien, premier traducteur russe de Darwin, avant de retourner dans son village natal pour y créer des écoles.
Il développa pendant quinze ans une méthode personnelle d’enseignement fondée sur la créativité. Il exerçait tous les soirs ses élèves au calcul mental en improvisant des problèmes de difficulté croissante, alternant avec des plus faciles pour encourager « les disciples les plus faibles ». Il était persuadé que seuls sa créativité permanente et son travail mental constant pouvait susciter chez ses élèves un travail intellectuel similaire.
Pour aider ses collègues des écoles rurales moins enclins à la créativité calculatoire par un « manque de familiarité avec les chiffres », il publia en 1899 1001 problèmes de calcul mental. Il y reprenait les problèmes de la vie courante posés à ses élèves sur les conversions d’unité de longueur, surface, masse, les coûts d’achat des produits quotidiens (dont le tabac et la vodka, avertissant à l’occasion les enfants des dangers d’une consommation trop précoce). Il n’exagérait pas les mérites du calcul mental, mais considérait que c’était une activité utile en termes pratiques et une saine gymnastique intellectuelle.
Les séquences de Ratchinski
La simple, mais profonde, connaissance du premier millier de nombres était pour Ratchinski une source inépuisable de problèmes.
On se devait donc de savoir que 365 = 5 × 73, mais aussi que 365 = 5 × (80 + 81 + 82 ),
ou encore que 102 + 112 + 122 = 132 + 142 = (172 + 212)/2.
Ces relations sont des cas particuliers de séquences qu’il a découvertes en s’intéressant à la régularité de la somme des carrés.
Pour un entier k donné, il suffit de prendre nk = 2k(k + 1) pour que la somme Σk de nk2 et des carrés des k nombres qui le précédent soit égale à la somme des carrés des k nombres qui le suivent. De plus, ce nombre nk est alors le quadruple du nombre triangulaire Tk (somme des k premiers entiers, aussi égal à k (k + 1)/2).
On peut aussi démontrer l’égalité Σk = σ2(24 σ1 + 1), dans laquelle σp est la somme des puissances p-ièmes des nombres de 1 à k.
Un élève qui connaissait ces propriétés pouvait donner instantanément la réponse au problème donné au tableau, qui correspond au cas k = 2.