On sait depuis 1958 qu’il est possible de retourner une sphère entière, c’est-à-dire sans trou aussi minime soit-il. Mais une telle transformation exige que la surface de la sphère se traverse elle-même, ce qui est évidemment impossible avec un modèle matériel. En revanche, un tube en caoutchouc se retourne aisément, mais qu’en est-il avec des matériaux rigides ou semi-rigides ?

Un tube flexible

Comme les flexagones, le flexatube a été inventé dans les années 1930 par le mathématicien britannique Arthur Harold Stone (voir en page 10). Dans les années 1950, le célèbre ludologue Martin Gardner a décrit ce puzzle et l’a popularisé dans sa colonne du Scientific American. On trouve également ce puzzle sous le nom de flexitube ou flexotube chez différents auteurs, notamment anglo-saxons.

Le flexatube représenté sur les photos est constitué de morceaux rigides recouverts de tissu, mais il peut tout à fait être fabriqué en carton, en marquant les pliures sur les diagonales des quatre faces afin de faciliter le flexage. 

Cet objet est un simple cube sans fond, ni couvercle, que nous nous proposons de retourner, de façon que les faces extérieures rouges deviennent des faces intérieures et que les faces intérieures jaunes deviennent des faces extérieures. Ces faces sont divisées en quatre parties par leurs diagonales, ces quatre parties pouvant « flexer » les unes par rapport aux autres.

(1) Amener l’arête AB à l’intérieur du cube, sur l’arête opposée. 

(2) Amener le sommet C en B en pliant selon les lignes pointillées rouges.

(3) Ouvrir le pliage selon les deux flèches blanches.

(4) On obtient alors une configuration parfaitement symétrique.

(5) En retournant l’objet, le jaune et le rouge se trouvent inversés.

Il ne reste plus qu’à faire la manipulation inverse pour déplier le flaxatube dans sa nouvelle configuration (le défi sera de retrouver les étapes de cette manipulation inverse).

Vers un flexasac ?

Le flexatube est donc un cube sans fond ni couvercle. Une question vient naturellement à l’esprit, question que Martin Gardner mentionne déjà dans sa rubrique : si on ajoute un fond au tube, le retournement du « sac » ainsi obtenu est-il également possible ?

Dans un article de 2010, le mathématicien japonais Hiroshi Maehara démontre que ce n’est pas possible en un nombre fini de pliages selon des droites. Par contre, si un flexatube avec un fond ne peut être retourné, il peut être « aplati » par pliage.