L’apport révolutionnaire de Félix Klein lors de sa conférence d’Erlangen a consisté à mettre en évidence, au cœur de chaque type de géométrie, le rôle fondamental du groupe de transformations opérant sur ses objets, ainsi que la recherche par ce groupe ou certains de ses sous-groupes des invariants, ces propriétés des figures qui ne sont pas modifiées par les transformations.
La réciproque est également vraie : des propriétés géométriques sont caractérisées par leur invariance relativement à certains groupes de transformations.
Klein va fonder son programme sur une hiérarchisation de ces groupes, les emboîtant les uns dans les autres : le « groupe principal », celui des isométries, est contenu dans celui des similitudes, qui conservent la forme des figures, lui-même contenu dans celui des transformations affines, qui conservent le parallélisme…
Cette correspondance se retrouve à la base de nombreuses démonstrations de résultats fondamentaux, mais aussi de la caractérisation des différentes géométries. En voici quelques exemples.
Université d’Erlangen, 1916.
La géométrie euclidienne
La notion d’isométrie, c’est-à-dire de transformation conservant les distances, est au cœur des définitions et axiomes d’Euclide, quoique dissimulée sous la notion de « figures superposables ». Dans cette géométrie euclidienne, non seulement les longueurs sont conservées par isométrie, mais ...
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