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L'indispensable dérivée

À première vue, la dérivée, à la frontière entre la physique et les mathématiques, n'est rien d'autre que la vitesse instantanée d'un mobile. Mais comment la définir plus précisément ? Essayez donc, sans utiliser les limites... on semble diviser zéro par lui-même ! Les plus grands esprits, de Fermat à Cauchy en passant par Newton, ont mis des siècles à dégager rigoureusement et en toute généralité ce concept.
Pourtant, on la retrouve partout, dans tout ce qui varie ; elle permet de prévoir l'avenir dans tout phénomène déterministe ! Un exemple d'actualité : votre taux d'imposition et la dérivée font très bon ménage...

LES ARTICLES

L'étude des dérivées de fonctions ne laisse parfois que le lointain souvenir d'applications de formules quelque peu ésotériques. Pourtant, l'idée sous-jacente est aussi simple et concrète qu'efficace. Et si l'on revenait aux bases pour mieux saisir la puissance du concept ?


Sluse, un mathématicien belge du XVII e siècle, a mis au point un algorithme permettant de calculer systématiquement le coefficient directeur de la tangente à une courbe algébrique définie implicitement. Son travail fut une étape essentielle vers les découvertes de Newton et de Leibniz.


De nombreux phénomènes physiques ou économiques sont décrits par des équations différentielles. Cela implique en particulier que les fonctions recherchées sont dérivables, mais aussi que les phénomènes en question sont localement déterministes.


Le lien entre le montant de l'impôt et le revenu soumis à cet impôt est une fonction. Quelles en sont les propriétés théoriques ? Les conclusions se vérifient-t-elles sur le nouvel impôt sur la fortune immobilière ? Eh bien, en fait, impôt et dérivée font bon ménage !


En bref : Passer du local au global... sans souci

Jacques Bair

En présence d'un problème d'optimisation, on est amené à rechercher un extremum d'une fonction.



En bref : Dériver en analyse non standard

Jacques Bair

En analyse non standard, on introduit une dérivée sans faire appel au concept de limite. Le prix à payer est le recours à des infiniment petits, des nombres non nuls dont la valeur absolue est inférieure à n'importe quel réel strictement positif !



En bref : Les quatre étapes de la dérivée

Jacques Bair

Les concepts mathématiques se dégagent progressivement : ils sont souvent développés en plusieurs phases. Ainsi en est-il de la dérivée : l’historienne américaine Judith Victor Grabiner distingue quatre étapes dans son élaboration.



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